Ce cours a pour objectif d’initier l’étudiant au calcul différentiel et intégral sur les variétés différentiables, qui généralisent les espaces euclidiens réels.
Après des rappels sur les applications de classe $C^r$, les difféomorphismes et le théorème des fonctions implicites à travers le théorème d’inversion locale, le cours développe le théorème du rang et ses conséquences (submersion, immersion, rang constant).
Il introduit ensuite la notion de sous-variété de les espaces tangents, les variétés définies par équations ou paramétrages, ainsi que le lemme de Morse et le fibré tangent.
Les chapitres suivants traitent des orientations, des variétés à bord, des formes différentielles et de la différentielle extérieure (avec le lemme de Poincaré), pour aboutir à l’intégration des formes différentielles sur $\mathbb{R}^n$ et sur les variétés, culminant avec la formule de Stokes et ses applications, notamment la divergence et la formule de Green--Ostrogradski.
- Teacher: MELOUANE Nassima